“方儿，这音律之说确实讲透了，而你唱的这些奇怪的字音准也对，只是这奇怪的符画太难辨认。”沈括对这些奇奇怪怪的符号甚为不满。
“记号而已，以后也可以直接指着数字唱。”
“这个发和西，古琴谱中从未见过，但是在笛谱、琵琶谱里却有变徵、变宫两音，若是用方儿讲的数字来记录，这琴谱便极易流传。”
“正是如此，这种记谱的方法为简谱，确实应该多加提倡。毕氏不仅定了七音的频率，而且他还做了关于弦长与频率的试验。得出的结论是，音准只和弦长、弦的拉力有关。事实上，除了弦长和弦的拉力以外，弦的密度也对频率有影响。后来的科学家对波进行了大量的研究，已经有成熟的公式，不知道大伯和爹爹可有兴趣。”
“快快讲来！”沈披和沈括已觉收获颇多，没想到还有更加精细的分析，沈披便急切地说道。
“首先是波长公式，波长等于2倍的弦长除以正弦波经过横线的数量。数量取一时，波长就等于2倍的弦长。”
“其次是波速公式，波的速度等于波长乘以频率，能反应波传递的速度。”
“第三也是波速公式，能够体现波如何生成的公式，波速等于张力除以密度然后再开根号。也就是说，张力越大，能产生的波速越快，密度越大，能产生的波速越慢。”
“第二个公式和第三个公式里面都有波速，很容易得出来，频率等于张力除以密度然后再开根号，然后再除以二倍的弦长。这个公式很清楚地表明，在弦乐器中，弦越长，音越低；拉力越紧，音越高；弦的密度越大，音越低。”
“如果将相同质地不同长度的钢丝绷紧，然后用重锤击打，便可以根据钢丝的长度，调出七个八度的所有的标准音，这样的乐器叫做钢琴。”
“那岂不是将为七七四十九个音阶的乐音？”
“不只四十九个音阶，每一个八度有十二个乐音，一共八十四个音，然后再加上三个低音、一个高音，共八十八个标准音。”
“此十二音阶从何而来？难道也是从三分损益法中得来？”
“正是如此，因为3/2的五次方和2的三次方很接近，可毕竟是近似值，而不是完全相等。在一个八度之内，这么小的差距也许没什么，但是如果乐器的音域跨越了好几个八度，那么这个近似值带来的误差便很大。于是人们开始寻找更好的近似值。”
“通过计算，西汉学者京房发现，3/2的五十三次方和2的三十一次方也很接近，但人耳朵能接受的八度却在七个左右，所以3/2的十二次方129.7和2的七次方128这两个接近的数便成为较为精确的选择。于是古人们把“五度相生律”中“按3/2比例寻找最和谐音”的循环过程重复12次，便认为已经到达了主音的第7个八度。再加上原来的主音和4/3f，如今就有了12个音符。这种经过修改的“五度相生律”推出的12声音阶，其频率分别是：f、2187/2048f、9/8f、/f、81/64f、4/3f、729/512f、3/2f、6561/4096f、27/16f、/f、243/128f。”
“既然如此，七个八度，八十四个音阶正好够用，为什么还要再增加四个声音？”
“有两个原因，第一原因是人的耳朵能分辨的频率差值是2，而最低的几个音已经达到这个分辨的极限；第二个原因是在这八十八个标准音之外的声音听起来很不舒服，所以就舍掉了。”
“这些乐音用什么方法来确定？难道全部用三分损益法？”
“当然不是，三分损益法用到后面，便已经严重地失真。一个八度十二个音的每两个音之间的比例应该是相同的，那么只需要将二开十二次方便可以得到这个比例关系。这个比例近似值是1.0，也可以简单记成1.06。”
“开十二次方？”沈括乃是有名的数学家，但开十二次方还是一个不小的计算量，“这么大的工作量是怎么做到的。”
“华夏有一奇人朱载堉（注：明朝一皇室子弟）用珠算开方的办法计算出来这个近似值。而这个数字的7次方正好约等于3/2，可以完美地还原所有的音阶，而且做到每个音阶之间比例相同。而有了这些精确的比例关系，88键钢琴的每一根弦的长度和位置便可以精确地制造出来，随后只需要调节钢丝的张力便可以调教出来一架完美的钢琴。”
“哇！”沈德这些小孩子兴奋地叫了起来，“三哥，你得答应送给我一架。”
沈封、沈朗也闹着要钢琴。
“沈氏钢琴自然要做到沈家子弟人手一架。”
“你们几个孩子先别想着要钢琴。那这简谱所用的唱名还有用吗？现在成了十二个音阶了，比原来多了五个音。”沈披眼睛一瞪，大声道。
“简谱这七个音当然有用，增加的五个音离初始音f更加遥远。在一个八度里，与1最近的是5，然后便是高音1的亲和音4。2367与1也比另外五个音和谐一些。而且，大家发现没有，”沈方指着数字，念的却是该数字对应的唱名，“按照三分损益法，2与1、3与2、5与4、6与5、7与6之间的频率比例都是9比8，这个比例叫做全音，而4与3、高音1与7之间的频率比例都是256比243，这个比例叫做半音。五个全音之间便以五个新加进来的音阶分各分成了两个半音。”
“这些半音在简谱中的计法也很简单，被计作：1#、2#、4#、5#、6#，读作：升1、升2、升4、升5、升6。因为是半音，也可以计作：2b、3b、5b、6b、7b，读作：降2、降3、降5、降6、降7。”